Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc...

* Hướng dẫn giải

Giả sử sản xuất x (kg) sản phẩm loại I và y (kg) sản phẩm loại II.

Điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0\) và \(2x + 4y \le 200 \Leftrightarrow x + 2y \le 100\)

Tổng số giờ máy làm việc:  \(3x + 1,5y\)  

Ta có \(3x + 1,5y \le 120\)

Số tiền lãi thu được là \(T = 300000x + 400000y\) (đồng).

Ta cần tìm x, y thoả mãn:

                        \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0,y \ge 0\\
x + 2y \le 100\\
3x + 1,5y \le 120
\end{array} \right.\)    (I)

sao cho \(T = 300000x + 400000y\) đạt giá trị lớn nhất.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng \({d_1}:x + 2y = 100;\quad {d_2}:3x + 1,5y = 120\)

Đường thẳng \(d_1\) cắt trục hoành tại điểm \(A(100;0)\), cắt trục tung tại điểm \(B(0;50)\).

Đường thẳng \(d_2\) cắt trục hoành tại điểm \(C(40;0)\), cắt trục tung tại điểm \(D\left( {0;80} \right)\).

Đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau tại điểm \(E\left( {20;40} \right)\).

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC.

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow T = 0;\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 50
\end{array} \right. \Rightarrow T = 20000000;\left\{ \begin{array}{l}
x = 20\\
y = 40
\end{array} \right. \Rightarrow T = 22000000;\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = 40\\
y = 0
\end{array} \right. \Rightarrow T = 12000000
\end{array}\)

Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II.