Cho tam giác ABC có . Biết rằng trực tâm của tam giác ABC là điểm , với a, b, m, n là các số nguyên dương và , là các phân số tối giản. Tính

* Hướng dẫn giải

Đường cao AH của tam giác ABC qua \(A\left( { - 2;7} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB} = \left( {2;9} \right)\) làm VTPT nên có phương trình:

\(2\left( {x + 2} \right) + 9\left( {y - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 9y - 59 = 0\)

Đường cao BH của tam giác ABC qua B(3;5) và nhận \(\overrightarrow {AC} = \left( {3; - 11} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là

\(3\left( {x - 3} \right) - 11\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 11y + 46 = 0\)

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{235}}{{49}}\\ y = \frac{{269}}{{49}} \end{array} \right.\).

Vậy \(T = \frac{{72}}{7}\).