Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right| - 7\,\, > 0 \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| + \left| {x - 4} \right|\,\, > 7\left( * \right)\)

Bảng xét dấu

Trường hợp \(x \le - 1\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow - x - 1 - x + 4 > 7\) \( \Leftrightarrow x < - 4\). So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm \({S_1} = \left( { - \infty , - 4} \right)\).

Trường hợp \( - 1 < x \le 4\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 - x + 4 > 7\) \( \Leftrightarrow 5 > 7\)(vô lý). Do đó, tập nghiệm S₂ = Ø.

Trường hợp x > 4, ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 + x - 4 > 7\) \( \Leftrightarrow x > 5\). So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm \({S_3} = \left( {5, + \infty } \right)\).

Vậy \(x \in {S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} = \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)\).