Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{x^{3}+2\left(1+\sqrt{x^{3}+1}\right)}+\sqrt{x^{3}+2\left(1-\sqrt{x^{3}+1}\right)}\) là

* Hướng dẫn giải

Hàm số xác định khi \(x^{3}+1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq-1\)

Ta có

\(\begin{array}{l} y=\sqrt{x^{3}+2\left(1+\sqrt{x^{3}+1}\right)}+\sqrt{x^{3}+2\left(1-\sqrt{x^{3}+1}\right)}=\sqrt{\left(\sqrt{x^{3}+1}+1\right)^{2}}+\sqrt{\left(\sqrt{x^{3}+1}-1\right)^{2}} \\ =\left|\sqrt{x^{3}+1}+1\right|+\left|1-\sqrt{x^{3}+1}\right| \geq 2 \quad \forall x \geq-1 \end{array}\)

Vậy miny=2