Giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{4}+\frac{1}{x-1}\) với x>1 là

* Hướng dẫn giải

Với \(x>1 \Leftrightarrow x-1>0\)

Ta có \(P = \frac{x}{4} + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 + 1}}{4} + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{x - 1}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho hai số dương \(\frac{x-1}{4}, \frac{1}{x-1}\) ta có

\(\begin{array}{l} \frac{x-1}{4}+\frac{1}{x-1} \geq 2 \cdot \sqrt{\frac{x-1}{4} \cdot \frac{1}{x-1}} \\ \Leftrightarrow \frac{x-1}{4}+\frac{1}{x-1} \geq 1 \end{array}\)

Khi đó \(P = \frac{{x - 1}}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{x - 1}} \ge 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{5}{4}\)