Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x - 1}}\) với x > 1

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{2}{{x - 1}} + 1 \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\frac{2}{{x - 1}}} + 1 = 2\sqrt 2 + 1.\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ x - 1 = \frac{2}{{x - 1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 .\)

Vậy \(m = 2\sqrt 2 + 1.\)