Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d: y = mx - m +1 (m 0) nhỏ nhất.

* Hướng dẫn giải

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Ox, Oy

Khi đó, $A\left(\frac{m-1}{m};0\right), B\left(0,-m+1\right)$

Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng (d) thì OH chính là khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d)

Xét tam giác vuông OAB có $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}$

Suy ra $O{H}_{\min }\iff {\left(\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\right)}_{\min }$

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}=\frac{\left|\frac{m-1}{m}\right|\left|-m+1\right|}{\sqrt{{\left(\frac{m-1}{m}\right)}^2+{\left(m-1\right)}^2}} \\ =\frac{{(m-1)}^2}{\sqrt{{(m-1)}^2(1+m^2)}}=\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{1+m^2}} \end{gathered}$$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì $\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{1+m^2}}\le \frac{\sqrt{2}\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{1+m^2}}=\sqrt{2}$  

Vậy OH_min = $\sqrt{2}$ và đạt được khi m = -1

Đáp án cần chọn là: D