Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Gọi M là điểm tùy ý trên đường tròn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right) \\ =2M{O}^2+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right) \\ Có \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{OC}\perp \overrightarrow{OD}\Rightarrow \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}=0 \end{gathered}$$

Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính $\frac{a}{2}\Rightarrow MO=\frac{a}{2}\Rightarrow M{O}^2=\frac{a^2}{4}$

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=2.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$