Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M thỏa mãn MO = 3R. Một đường

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi $\widehat{MOA}=\alpha \Rightarrow \widehat{MOB}={180}^0-\alpha$

Ta có:

$$\begin{gathered} MA=\sqrt{M{O}^2+A{O}^2-2MO.AO.\cos \alpha } \\ =\sqrt{9R^2+R^2-6R^2\cos \alpha }=R\sqrt{10-6\cos \alpha } \\ MB=\sqrt{M{O}^2+B{O}^2-2MO.BO.\cos \left({180}^0-\alpha \right)} \\ =\sqrt{9R^2+R^2+6R^2\cos \alpha }=R\sqrt{10+6\cos \alpha } \end{gathered}$$

Xét $C=\sqrt{10-6\cos \alpha }+\sqrt{10+6\cos \alpha }$

$\Rightarrow C^2=20+2\sqrt{100-36{\cos }^2\alpha }\ge 20+2\sqrt{100-36}=36$

Suy ra $C\ge 6$. Dấu bằng xảy ra khi 

${\cos }^2\alpha =1\iff \left[\begin{array}{c}\cos \alpha =1\\ \cos \alpha =-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\alpha =0^0\\ \alpha ={180}^0\end{array}\right.$

Ta có $S=MA+MB=R\left(\sqrt{10-6\cos \alpha }+\sqrt{10+6\cos \alpha }\right)\ge 6R$

Suy ra min S = 6R khi và chỉ khi A, O, B, M thẳng hàng