Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi N là trung điểm đoạn BC

Gọi I là điểm thỏa mãn:

$4\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 4\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$  

$\iff 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0}$ nên điểm I thuộc đoạn thẳng AN sao cho IN = 2IA

Khi đó: $IA=\frac{1}{3}AN=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ và $IN=\frac{2}{3}AN=\frac{2}{3}.\frac{a\text{}\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$I{B}^2=I{C}^2=I{N}^2+B{N}^2=\frac{a^2}{3}+\frac{a^2}{4}=\frac{7a^2}{12}$

Ta có: $4M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=\frac{5a^2}{2}$

$$\begin{gathered} \iff 4{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2=\frac{5a^2}{2} \\ \iff 6M{I}^2+4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2=\frac{a\sqrt{5}}{2} \\ \iff 6M{I}^2+4.\frac{a^2}{12}+2.\frac{7a^2}{12}=\frac{5a^2}{2} \\ \iff MI=\frac{a}{\sqrt{6}} \end{gathered}$$