Đoạn thẳng AB có độ dài 2a, I là trung điểm AB. Khi vecto MA.vecto MB = 3a^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

+ Vì I là trung điểm đoạn AB nên ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} \\ \Rightarrow {\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\right)}^2=4{\overrightarrow{MI}}^2 \\ \Rightarrow M{A}^2+2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+M{B}^2=4M{I}^2 \\ \Rightarrow M{A}^2+M{B}^2+6a^2=4M{I}^2 \left(1\right) \end{gathered}$$

+ Theo công thức độ dài đường trung tuyến:

$$\begin{gathered} M{I}^2=\frac{M{A}^2+M{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{4} \\ \Rightarrow M{I}^2=\frac{M{A}^2+M{B}^2}{2}-a^2 \\ \Rightarrow 4M{I}^2=2\left(M{A}^2+M{B}^2\right)-4a^2 \left(2\right) \end{gathered}$$

+ Từ (1) và (2) suy ra $M{A}^2+M{B}^2=10a^2$

Thay vào (1) ta được:

$10a^2+6a^2=4M{I}^2\Rightarrow M{I}^2=4a^2\Rightarrow MI=2a$