: Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AB = a;BC = 2a\). Tính \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA} .

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 30^\circ  \Rightarrow B = 60^\circ \) 

Áp dụng định lý Pytago ta có: \(AC = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AC} \\
 = BC.CA.\cos \left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {CA} } \right) + BA.AC.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {AC} } \right)\\
 = 2a.a\sqrt 3 .\cos 30^\circ  + a.a\sqrt 3 .\cos 90^\circ \\
 = 2{a^2}\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3{a^2}
\end{array}\)