Có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên m thuộc nửa khoảng \(\left[ { - 2017;2017} \right)\) để phương trình \(\sqrt {2{x^2} - x -

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} - x - 2m}  = x - 2\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 \ge 0\\
2{x^2} - x - 2m = {x^2} - 4x + 4
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
{x^2} + 3x - 2m - 4 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
{x^2} + 3x - 4 = 2m
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm \( \Leftrightarrow \) phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 2m\) có nghiệm \(x \ge 2\).

Số nghiệm của phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 2m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 3x - 4\) và đường thẳng y = 2m song song với trục hoành.

Xét hàm số \(y = {x^2} + 3x - 4\) ta có BBT:

Dựa vào BBT ta có để phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 2m\) có nghiệm \(x \ge 2\) khi và chỉ khi \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ {3;2017} \right)\), có \(\frac{{2016 - 3}}{1} + 1 = 2014\) số nguyên m thỏa mãn.