Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {m + 3} \right)x - 2\sqrt {{x^2} - 1}  + m - 3 = 0\)

* Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với \(m\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) - 2\sqrt {{x^2} - 1}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 3\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}  + m = 0\,\,\left( {x \ge 1)} \right)\)

Đặt \(t = \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} ,\,\,\, \Rightarrow 0 \le t < 1\)

Ta được: \(3{t^2} - 2t + m = 0,\,\,\,\left( {0 \le t < 1} \right)\left( * \right)\)

Số nghiệm của (*) bằng số giao điểm của: \(\left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3{t^2} + 2t,\,\left( {0 \le t < 1} \right)\\
y = m
\end{array} \right.\)

Lập bảng biến thiên suy ra \( - 1 < m \le \frac{1}{3}\)