Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD; các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CD; CM cắt DN tạ

* Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow {IP}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Đường thẳng IP nhận vecto \(\overrightarrow {IP}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\) làm một vecto chỉ phương nên có vecto pháp tuyến 

Phương trình (IP): \(7(x-5)-(y-2)=0\)

\( \Leftrightarrow 7x - y - 33 = 0\)

b) Gọi H là giao điểm của AP và DN 

Dễ chứng minh được \(CM\bot DN\), tứ giác APCM là hình bình hành suy ra

HP//IC, HP là đường trung bình của tạm giác DIC, suy ra H là trung điểm ID; có tam giác AID cân tại A, tam giác DIC vuông tại I nên AI = AD và IP = PD

\( \Rightarrow \Delta AIP = \Delta ADP\) hay \(AI\bot IP\)

Đường thẳng AI đi qua I và vuông góc IP nên có PT: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + 7t\\
y = 2 - t
\end{array} \right.\)

\(IP = \left| {\overrightarrow {IP} } \right| = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Gọi suy ra t = 1 hoặc t = -1

Do A có hoành độ âm nên t = -1, A(-2;3)

Đường thẳng đi qua AP có phương trình: x - 3y+11 = 0

Đường thẳng đi qua DN có phương trình: 3x+y-17 = 0

\(H = AP \cap DN \Rightarrow H\left( {4;5} \right)\)

H là trung điểm ID suy ra D(3;8)

Vậy A(-2;3), D(3;8)