Cho b lớn hơn bằng -1/2 và b/a > 1. Chứng minh rằng 2b^3+1/4a(b-1) lớn hơn bằng 3.

* Hướng dẫn giải

Cho $b\ge -\frac{1}{2}$và $\frac{b}{a}>1$. Chứng minh rằng $\frac{2b^3+1}{4a\left(b-a\right)}\ge 3$.

Giải:

Do $\frac{b}{a}>1\iff \frac{b-a}{a}>0\Rightarrow a\left(b-a\right)>0$

Và ${\left(b-2a\right)}^2\ge 0\iff b^2-4ba+4a^2\ge 0\iff 4a\left(b-a\right)\le b^2\left(1\right)$

$b\ge -\frac{1}{2}\iff 2b+1\ge 0\iff \left(2b+1\right){\left(b-1\right)}^2\ge 0\iff 2b^3+1-3b^2\ge 0\iff \frac{2b^3+1}{3}\ge b^2\left(2\right)$

Từ (1) và (2)$\Rightarrow 4a\left(b-a\right)\le b^2\le \frac{2b^3+1}{3}\Rightarrow$$4a\left(b-a\right)\le \frac{2b^3+1}{3}$

$\iff \frac{2b^3+1}{4a(b-a)}\ge 3$ (đpcm)