Cho a lớn hơn bằng -1/2 và a/b > 1. Chứng minh rằng 2a^3 + 1/4b(a-b) lớn hơn bằng 3

* Hướng dẫn giải

Do $\frac{a}{b}>1\iff \frac{a-b}{b}>0\Rightarrow b\left(a-b\right)>0$

Và ${\left(a-2b\right)}^2\ge 0\iff a^2-4ab+4b^2\ge 0\iff 4b\left(a-b\right)\le a^2 \left(1\right)$

$a\ge -\frac{1}{2}\iff 2a+1\ge 0\iff \left(2a+1\right){\left(a-1\right)}^2\ge 0\iff 2a^3+1-3a^2\ge 0\iff \frac{2a^3+1}{3}\ge a^2\left(2\right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow 4b\left(a-b\right)\le a^2\le \frac{2a^3+1}{3}\Rightarrow$$4b\left(a-b\right)-3\le \frac{2b^3+1}{3}$

$\iff \frac{2a^3+1}{4b(a-b)}\ge 3$ (đpcm).