Cho elip (E): x^2/a^2+ y^2/b^2 = 1, ( a > b > 0). a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2, B1B2. b) Xét một điểm...

Hướng dẫn giải

a)

+) Có A₁ thuộc trục hoành Ox nên y = 0, hơn nữa A₁ lại thuộc (E) nên \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\). 

⇔ x² = a².

Chọn A₁ nằm bên trái trục Oy nên có hoành độ âm. Vậy tọa độ A₁(– a; 0).

Chọn A₂ nằm bên phải trục Oy nên có hoành độ dương. Vậy tọa độ A₂(a; 0). 

Suy ra độ dài A₁A₂ = \(\sqrt {{{\left( {a - \left( { - a} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} = 2a\) (do a > 0).

+) B₁ thuộc trục tung Oy nên x = 0, hơn nữa B₁ lại thuộc (E) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). 

⇔ y² = b².

Chọn B₁ nằm phía dưới trục Ox nên có tung độ âm. Vậy tọa độ B₁(0; – b).

Chọn B₂ nằm phía trên trục Ox nên có tung độ dương. Vậy tọa độ B₂(0; b). 

Suy ra độ dài B₁B₂ = \(\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {b - \left( { - b} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2b} \right)}^2}} \)= 2b (do b > 0).

Vậy A₁A₂ = 2a, B₁B₂ = 2b.

b) Vì M(x₀; y₀) thuộc (E) nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:

\(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1\).

+) Giả sử b² ≤ x₀² + y₀², chia cả hai vế cho b² > 0 ta được:

\(\frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow 1 \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\)

Do a > b > 0 nên a² > b² > 0, và x₀² ≥ 0 với mọi x₀ nên \(\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_0^2}}{{{b^2}}}\) luôn đúng.

Vậy b² ≤ x₀² + y₀².

+) Chứng minh tương tự ta được: x₀² + y₀² ≤ a².

Vậy b² ≤ x₀² + y₀² ≤ a²     (*).

+) Ta lại có: OM = \(\sqrt {x_0^2 + y_0^2} \)

Từ (*) ta suy ra: \(b \le \sqrt {x_0^2 + y_0^2} \le a\)

Do đó: b ≤ OM ≤ a.