Cho hình bình hành ABCD tâm O. Ba điểm M, N, P thỏa mãn:

+) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do \[\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \] nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho \[\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AO} \].

+) Do \[\overrightarrow {N{\rm{D}}} + \overrightarrow {NB} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \] nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho \[\overrightarrow {CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {CO} \].

+) Do \[\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow 0 \] nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = \[\frac{2}{3}\]AO = \[\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\]AC = \[\frac{1}{3}\]AC; CN = \[\frac{2}{3}\]CO = \[\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\]AC = \[\frac{1}{3}\]AC.

Do đó MN = \[\frac{1}{3}\]AC.

MO = \[\frac{1}{3}\]AO = \[\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\] AC = \[\frac{1}{6}\]AC.

Khi đó MO = \[\frac{1}{2}\]MN.

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

Vậy P là trung điểm của MN.