Cho a, b là các số dương thỏa mãn a^2 + b^2 = 1. Chứng minh rằng (a/b + b/a)(a/b^2 + b/a^2) lớn hơn bằng 4.

Áp dụng BĐT côsi ta có

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=\mathrm{2,}\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b^2}.\frac{b}{a^2}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}$

Suy ra $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\ge \frac{4}{\sqrt{ab}}$ (1)

Mặt khác ta có $2=a^2+b^2\ge 2\sqrt{a^2{b}^2}=2ab\Rightarrow ab\le 1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\ge 4$ (ĐPCM).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.