Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ AG bằng

* Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABC đều có cạnh bằng 3 nên AB = AC = 3 và \(\widehat {BAC} = 60^\circ .\)

Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\left( {2\overrightarrow {AM} } \right)^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + 2.\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{C^2} = 4A{M^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC} + A{C^2} = 4A{M^2}\)

3² + 2.3.3.cos60° + 3² = 4.AM²

4.AM² = 27

AM² = \(\frac{{27}}{4}\)

AM = \(\sqrt {\frac{{27}}{4}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên AG = \(\frac{2}{3}\)AM

AG = \(\frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \sqrt 3 .\)

Vậy ta chọn phương án A.