Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9). Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ FA + vectơ FB + vectơ FC có độ

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{2 + 5 + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 9}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {\frac{5}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\)

Với điểm F bất kì ta có: \(\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} = 3\overrightarrow {FG} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {FG} } \right| = 3FG\)

Để vectơ \[\overrightarrow {FA} + \overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} \] có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = \(\frac{{11}}{3}\)

Vậy \(F\left( {0;\frac{{11}}{3}} \right).\)