Đường cong sau đây là đồ thị của hàm số bậc hai nào ? A. y = x^2 – 2x + 1; B. y = x^2 – x – 1; C. y = x^2 – 2x – 1; D. y = –x^2 – 2x – 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Hàm số bậc hai có dạng y = ax²  + bx + c (a ≠ 0).

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh I(1; –2) và cắt trục tung tại điểm (0; –1).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

\( - \frac{b}{{2a}} = 1\) (2); \( - \frac{\Delta }{{4a}} = - 2 \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 2 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac = 8a\) (3)

c = –1 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: b² – 4a.(–1) = 8a ⇔ b² – 4a = 0 (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: (–2a)² – 4a = 0 ⇔ 4a² – 4a = 0 ⇔ 4a(a – 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,(L)\\a = 1\,\,(TM)\end{array} \right.\)

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số y = ax²  + bx + c là y = x²  – 2x – 1.