Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính tích vô hướng vecto AH.vecto AC

* Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do tam giác ABC đều nên:

AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến

$\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác AHC vuông tại H

Áp dụng định lí Pythagore có:

AH² + CH² = AC² ⇔ AH²  = AC² – CH² = $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{HAC}$; $\cos \widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos HAC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}{a}^2$.