Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M

* Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$ .

Ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$

$\iff {\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)}^2=9{\overrightarrow{OM}}^2$

$\iff {\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2+2\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}\right)=9{\overrightarrow{MO}}^2$

Mặt khác, ta lại có:

${\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2={\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)}^2$

$={\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{MO}}^2+2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OC}+{\overrightarrow{OC}}^2$

$=3{\overrightarrow{MO}}^2+{\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2+{\overrightarrow{OC}}^2+2\overrightarrow{MO}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$

$=3M{O}^2+a^2$

Như vậy, ta được:

$3M{O}^2+a^2+2\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}\right)=9M{O}^2$

$\iff \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=3M{O}^2-\frac{a^2}{2}$

Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$  nên $MO=\frac{a}{2}\Rightarrow M{O}^2=\frac{a^2}{4}$

$\iff \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}=\frac{a^2}{4}$.