Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có:

$A{B}^2+C{D}^2={\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{CD}}^2={\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)}^2$

$=A{D}^2+2D{B}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CB}$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CB}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)-\overrightarrow{CB}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)$

$=B{C}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{AC}$

Mà AC vuông góc với BD nên ta có:$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$

Do đó: $A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+A{D}^2$