Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm BC. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB vuông góc với HC và AC vuông góc với HB nên $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}=0;\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}=0$ .

Do M là trung điểm BC nên ta có:

$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$

Do đó ta có:

$4\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}=2\overrightarrow{AM}.2\overrightarrow{HM}$

$=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HC}$

$=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{BC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CB}=C{B}^2=B{C}^2$

Vậy $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}B{C}^2$ .

Ta có:

$A{H}^2={\overrightarrow{AH}}^2={\left(\overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MA}\right)}^2={\overrightarrow{MH}}^2+{\overrightarrow{MA}}^2-2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MH}$

$=M{H}^2+M{A}^2-2.\frac{1}{4}.B{C}^2$

Do đó: $M{H}^2+M{A}^2=A{H}^2+\frac{1}{2}B{C}^2$