Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC,

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

3M’G’ = BC

$\iff 3\overrightarrow{M\text{'}G\text{'}}=\overrightarrow{BC}$

 $\iff 3\overrightarrow{M\text{'}G\text{'}}.\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}}^2$ (nhân cả hai vế với vectơ $\overrightarrow{BC}$ ).

Do M’ là hình chiếu của M trên BC, G’ là hình chiếu của trọng tâm G trên cạnh BC nên $\overrightarrow{M\text{'}G\text{'}}=\overrightarrow{MG}$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Do đó, ta có:

$3\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{BC}={\overrightarrow{BC}}^2$

$\iff \left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)=B{C}^2$

$\iff \overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)=B{C}^2$

$\iff \overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)+M{C}^2-M{B}^2=B{C}^2$

$\iff \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=B{C}^2+M{B}^2-M{C}^2$.