Cho MN là một đường kính bất kì của đường tròn tâm O bán kính R. Cho A là một điểm

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}=\left(\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\right).\left(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}\right)$

$=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{ON}+{\overrightarrow{OA}}^2$

$=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}-\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right).\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2$

Vì MN là đường kính của đường tròn O, bán kính R nên O là trung điểm của MN, do đó ta có:

+) $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$ ;

+) $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$  là hai vectơ ngược hướng và OM = ON = R.

Do đó:  $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$ $=\left|\overrightarrow{OM}\right|.\left|\overrightarrow{ON}\right|.\cos 180°-\overrightarrow{0}.\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}}^2$

$=R.R.\left(-1\right)+d^2=d^2-R^2$.