Tổng \(A = \tan 9^\circ  + \cot 9^\circ  + \tan 15^\circ  + \cot 15^\circ --\tan 27^\circ --\cot 27^\circ \) bằng :

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
A = \tan 9^\circ  + \cot 9^\circ  + \tan 15^\circ  + \cot 15^\circ --\tan 27^\circ --\cot 27^\circ \\
 = \tan 9^\circ  + \cot 9^\circ --\tan 27^\circ --\cot 27^\circ  + \tan 15^\circ  + \cot 15^\circ \\
 = \tan 9^\circ  + tan81^\circ --\tan 27^\circ --tan63^\circ  + \tan 15^\circ  + \cot 15^\circ 
\end{array}\)

Ta có \(\tan 9^\circ --\tan 27^\circ  + tan81^\circ --tan63^\circ  = \frac{{ - \sin 18^\circ }}{{\cos 9^\circ .\cos 27^\circ }} + \frac{{\sin 18^\circ }}{{\cos 81^\circ .\cos 63^\circ }}\)

\(\begin{array}{l}
 = \sin 18^\circ \left( {\frac{{\cos 9^\circ .\cos 27^\circ  - \cos 81^\circ .\cos 63^\circ }}{{\cos 81^\circ .\cos 63^\circ .\cos 9^\circ .\cos 27^\circ }}} \right) = \frac{{\sin 18^\circ \left( {\cos 9^\circ .\cos 27^\circ  - \sin 9^\circ .\sin 27^\circ } \right)}}{{\cos 81^\circ .\cos 63^\circ .\cos 9^\circ .\cos 27^\circ }}\\
 = \frac{{4\sin 18^\circ .\cos 36^\circ }}{{\left( {\cos 72^\circ  + \cos 90^\circ } \right)\left( {\cos 36^\circ  + \cos 90^\circ } \right)}} = \frac{{4\sin 18^\circ }}{{\cos 72^\circ }} = 4\\
\tan 15^\circ  + \cot 15^\circ  = \frac{{{{\sin }^2}15^\circ  + {{\cos }^2}15^\circ }}{{\sin 15^\circ .\cos 15^\circ }} = \frac{2}{{\sin 30^\circ }} = 4
\end{array}\)

Vậy \(A=8\)