Cho tam giác ABC đều.Gọi D là điểm đối xứng của C qua AB.

* Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục Oxy sao cho Ox trùng với AB, chiều dương hướng từ A đến B, trục Oy là đường trung trực của đoạn \(AB \Rightarrow A\left( { - 1;0} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {0;\sqrt 3 } \right);D\left( {0; - \sqrt 3 } \right)\)

Phương trình đường tròn tâm D qua A, B là:\({x^2} + {(y + \sqrt 3 )^2} = 4\) (1).

Giả sử M(a;b)  là điểm bất kì trên đường tròn (1) .Ta có :

\(M{A^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2},M{B^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2},M{C^2} = {a^2} + {\left( {b - \sqrt 3 } \right)^2}\)

\(M{A^2} + M{B^2} = {a^2} + {\left( {b - \sqrt 3 } \right)^2} + {a^2} + {b^2} + 2b\sqrt 3  - 1 = M{C^2} + {a^2} + {\left( {b + \sqrt 3 } \right)^2} - 4\)

M nằm trên đường tròn (1) nên \({a^2} + {\left( {b + \sqrt 3 } \right)^2} - 4 = 0 \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = M{C^2} \Rightarrow MA,MB,MC\) là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.