Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình (C1) : x2+ y2- 4y -5 = 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

- Ta có :

(C₁) tâm I₁(0;2) và R₁= 3; (C₂) tâm I₂( 3;-4) và R₂= 3

- Nhận xét :  không cắt C₂

- Gọi d: ax+ by+ c= 0  là tiếp tuyến chung , thế thì : d(I₁; d) = R₁ và d (I₂; d) = R₂

- Trường hợp: a= 2b thay vào (1):

$\left[\begin{array}{c}b=\frac{\left(2+3\sqrt{5}\right)c}{41}\\ b=\frac{\left(2-3\sqrt{5}\right)c}{41}\end{array}\right.$

- Do đó ta có hai đường thẳng cần tìm :

Với $b=\frac{\left(2+3\sqrt{5}\right)c}{41},$chọn c = 41 thì $b=2+3\sqrt{5}, a=2\left(2+3\sqrt{5}\right)$, khi đó phương trình đường thẳng d là: 

$2\left(2+3\sqrt{5}\right)x+\left(2+3\sqrt{5}\right)y+41=0$.

Với $b=\frac{\left(2-3\sqrt{5}\right)c}{41}$, chọn c = 41 thì $b=2-3\sqrt{5}, a=2\left(2-3\sqrt{5}\right)$, khi đó phương trình đường thẳng d là:

$2\left(2-3\sqrt{5}\right)x+\left(2-3\sqrt{5}\right)y+41=0$.

- Trường hợp :  thay vào  :  $\frac{\left|2b+{\displaystyle \frac{2b-3a}{2}}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\iff \left|2b-a\right|=2\sqrt{a^2+b^2}$

$$\begin{gathered} \iff {\left(2b-a\right)}^2=4\left(a^2+b^2\right) \\ \iff 3a^2+4ab=0 \end{gathered}$$

$\left[\begin{array}{c}a=0\Rightarrow c=b\\ a=-\frac{4b}{3}\Rightarrow c=2b\end{array}\right.$

Với a= 0, c = b, chọn b = 1 $\Rightarrow c=1$ thì phương trình đường thẳng d là: y+1=0

Với $a=-\frac{4b}{3}\Rightarrow c=2b$, chọn b = -3 $\Rightarrow$a = 4, c = -6 thì phương trình đường thẳng d là: 4x - 3y - 6 = 0

Có tất cả 4 tiếp tuyến chung.