Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 3x = {y^2} + 4\\2{y^2} - 3y = {x^2} + 4\end{array} \right.\)

* Hướng dẫn giải

\(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} - 3x = {y^2} + 4\,\,\left( 1 \right)\\
2{y^2} - 3y = {x^2} + 4\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế và biến đổi, ta được:

\(3{x^2} - 3{y^2} - 3x + 3y = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x + y - 1 = 0
\end{array} \right.\)

TH1. Với y = x thế vào phương trình (1) ta được

\({x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 4
\end{array} \right.\). Vậy \(x = y =  - 1 \vee x = y = 4\).

TH2. Với x + y – 1 = 0 hay y = 1 – x ,  thế vào phương trình (1) ta được

\(2{x^2} - 3x = {\left( {1 - x} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\
y = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\\
y = \frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}
\end{array} \right.\)

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y)  là:

\(\left( { - 1; - 1} \right),\left( {4;4} \right),\left( {\frac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right),\left( {\frac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\frac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right)\)