Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm \(A\left( {1;2} \right),B( - 2;1),C(3;1)\). a) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là...

* Hướng dẫn giải

a) Ta có  \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 1} \right)\).

Vì \(\frac{{ - 3}}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}}\) nên hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương, hay A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.

Tứ giác ABCD là hình bình hành  khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - {x_D} =  - 3\\
1 - {y_D} =  - 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = 6\\
{y_D} = 2
\end{array} \right.\) . Vậy D(2;6)

b) Gọi M(x; y), ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 1;y - 2} \right),\overrightarrow {BM}  = \left( {x + 2;y - 1} \right)\)

Tam giác MAB vuông cân tại M \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\\
AM = BM
\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right) = 0\\
\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10{x^2} + 10x = 0\\
y =  - 3x
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y = 3
\end{array} \right.\). Vậy, M(0;0) hay M(- 1;3).