Chứng minh rằng \(f(x) =  - {x^{2018}} + 2|x| + 2019\) là hàm số chẵn.

* Hướng dẫn giải

1.1. a) Hàm số có MXĐ R, và: 

\(\begin{array}{l}
\forall x \in R,\,\,f( - x) =  - {( - x)^{2018}} + 2| - x| + 2019\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - {x^{2018}} + 2|x| + 2019 = f(x)
\end{array}\)

b) \(\frac{{x + 1}}{{\sqrt {5x + 2} }} + (x - 2)\sqrt {5x + 2}  = \frac{9}{{\sqrt {5x + 2} }}.\) (1)

Điều kiện \(5x + 2 > 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{2}{5}\)

\((1) \Rightarrow x + 1 + (x - 2)(5x + 2) = 9\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \vee x = \frac{{12}}{5}\)

So với điều kiện và thử lại có \(x = \frac{{12}}{5}\) là nghiệm PT.  KL  

1.2. a) Tính được \({x_0} = \frac{{ - b}}{{2a}} = 1\), \(y_0=4\)

Bảng biến thiên

Tọa độ đỉnh I(1; 4) và  trục đối xứng x = 1

Một số điểm đặc biệt A(-1; 0); B(3; 0); C(0;3)  

Đồ thị

b) PTHĐGĐ \( - {x^2} + 2x + 3 = (m + 4)x + m + 2 \Leftrightarrow {x^2} + (m + 2)x + m - 1 = 0\,\,(*)\)

Đường thẳng cắt (P) tại hai điểm nằm hai phía của trục PT (*) có hai nghiệm trái dấu            

Từ giả thiết \({x_1} < {x_2}\) suy ra \({x_1} < 0 < {x_2}\).

Do đó: Giả thiết \(\left| {{x_2}} \right| = 2\left| {{x_1}} \right| \Leftrightarrow {x_2} =  - 2{x_1} \Leftrightarrow {x_1} =  - ({x_2} + {x_1}) = m + 2 < 0\)

\((*) \Rightarrow 2{(m + 2)^2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow 2{(m + 2)^2} + (m + 2) - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 2 = 1\,\,(loai)\\
m + 2 = \frac{{ - 3}}{2}(t/m) \Rightarrow m = \frac{{ - 7}}{2}
\end{array} \right.\)