Tìm \(b, c\) để Parabol (P) có đỉnh \(S\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{5}{4}} \right)\) biết (P): \(y = {x^2} + bx + c\)

* Hướng dẫn giải

1. Đỉnh \(S\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{5}{4}} \right) \in (P) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - b/2 =  - 1/2\\
\frac{1}{4} - \frac{b}{2} + c =  - \frac{5}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 1\\
c =  - 1
\end{array} \right.\)

2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và \(\Delta\) :

\({x^2} + x - 1 =  - 2x - m \Leftrightarrow {x^2} + 3x + m - 1 = 0\) (*)

\(\Delta\) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1, x_2 \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 13 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{13}}{4}\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( {**} \right)}
\end{array}\)

Giả sử \(A\left( {{x_1}; - 2{x_1} - m} \right);B\left( {{x_2}; - 2{x_2} - m} \right)\) theo Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - 3\\
{x_1}{x_2} = m - 1
\end{array} \right.\).

Ta có tam giác OABvuông tại O\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow 5{x_1}{x_2} + 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)

Đối chiếu đk  (**) ta có đáp số \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)