Cho hình vuông ABCD có I là trung điểm của AD. Tính .

* Hướng dẫn giải

Gọi AB = a

Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \)

Khi đó

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) \\= \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

\( = - AC.AB.\cos \widehat {BAC} = - a.a\sqrt 2 .\cos 45^\circ = - {a^2}\)

\(BI = \sqrt {A{B^2} + A{I^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BI} = AC.BI.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BI} } \right)\)

\( \Leftrightarrow - {a^2} = a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BI} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BI} } \right) = - \frac{2}{{\sqrt {10} }}\)