Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(4;1), đường thẳng d qua M, d cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b) sao cho tam giác ABO ( O là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá tr...

* Hướng dẫn giải

Ta có phương trình đường thẳng d có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) ( theo giả thiết ta có a > 0, b > 0)

Do d đi qua M(4;1) nên ta có \(\frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1\)

Mặt khác diện tích của tam giác vuông ABO là \({S_{ABO}} = \frac{1}{2}ab\)

Áp dụng BĐT Cô si ta có \(1 = \frac{4}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{4}{a}.\frac{1}{b}} = \frac{4}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 4 \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab \ge 8\)

Vậy diện tích của tam giác vuông ABO nhỏ nhất bằng 8 khi a, b thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{4}{a} = \frac{1}{b}\\ \frac{4}{a} + \frac{1}{b} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 8\\ b = 2 \end{array} \right. \Rightarrow a - 4b = 8 - 4.2 = 0\)