Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết AD = 2AB, đường thẳng AC có phương trình x + 2y + 2 = 0, D(1;1) và . Tính a + b.

* Hướng dẫn giải

Gọi A(a;b). Vì \(A \in AC:x + 2y + 2 = 0\) nên \(a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = - 2b - 2\)

Do a > 0 nên \( - 2b - 2 > 0 \Rightarrow b < - 1\) (*)

Khi đó \(A\left( { - 2b - 2;b} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AD} = \left( {2b + 3;1 - b} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AD.

\(\vec u = \left( {2; - 1} \right)\) là véctơ chỉ phương của đường thẳng AC.

Trên hình vẽ, \(\tan \alpha = \frac{{DC}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\) (1)

Lại có \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AD} .\vec u} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\left| {.\vec u} \right|}} = \frac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{5\left| {b + 1} \right|}}{{\sqrt 5 \sqrt {{b^2} + 2b + 2} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Rightarrow b = - 3\) (do (*)) \( \Rightarrow a = 4\).

Khi đó A(4;-3), suy ra a + b = 1.