Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A(2;-3) và B(3;-2). Trọng tâm G nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C?

* Hướng dẫn giải

Gọi \(G\left( {a;\;3a - 8} \right)\). Do \({S_{ABC}} = \frac{3}{2} \Rightarrow {S_{GAB}} = \frac{1}{2}\).

Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\;1} \right)\) là véc tơ chỉ phương nên có phương trình x - y - 5 = 0.

\(AB = \sqrt 2 ;d\left( {G;AB} \right) = \frac{{\left| {a - \left( {3a - 8} \right) - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {3 - 2a} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

Do \({S_{GAB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}.AB.d\left( {G;AB} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt 2 .\frac{{\left| {3 - 2a} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 1 \Leftrightarrow \left| {3 - 2a} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a = 2 \end{array} \right.\).

Với \(a = 1 \Rightarrow G\left( {1;\; - 5} \right) \Rightarrow C\left( { - 2;\; - 10} \right)\).

Với \(a = 2 \Rightarrow G\left( {2;\; - 2} \right) \Rightarrow C\left( {1;\; - 1} \right)\).

Vậy C(-2;-10) hoặc C(1;-1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.