Cho tam giác ABC có và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt là x - 2y - 1 = 0, x + 3y - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

* Hướng dẫn giải

Dễ thấy điểm \(A\left( {\frac{4}{5};\frac{7}{5}} \right)\) không thuộc hai đường phân giác x - 2y - 1 = 0 và x + 3y - 1 = 0.

Suy gọi CF:x - 2y - 1 = 0, BE:x + 3y - 1 = 0 lần lượt là phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh C, B(như hình vẽ trên).

Gọi d là đường thẳng qua \(A\left( {\frac{4}{5};\frac{7}{5}} \right)\) và vuông góc với BE thì d có VTPT là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {3; - 1} \right)\) nên có phương trình \(3\left( {x - \frac{4}{5}} \right) - \left( {y - \frac{7}{5}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 1 = 0\).

Tọa độ điểm \(M = d \cap BE\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l} 3x - y - 1 = 0\\ x + 3y - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{2}{5}\\ y = \frac{1}{5} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{2}{5};\frac{1}{5}} \right)\).

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với \(A\left( {\frac{4}{5};\frac{7}{5}} \right)\) qua \(M\left( {\frac{2}{5};\frac{1}{5}} \right)\) là A'(0;-1) thì \(A' \in BC\). (1)

Gọi d' là đường thẳng qua \(A\left( {\frac{4}{5};\frac{7}{5}} \right)\) và vuông góc với CF thì d' có VTPT là \(\overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\) nên có phương trình \(2\left( {x - \frac{4}{5}} \right) + \left( {y - \frac{7}{5}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\).

Tọa độ điểm \(N = d' \cap CF\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l} 2x + y - 3 = 0\\ x - 2y - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{7}{5}\\ y = \frac{1}{5} \end{array} \right. \Rightarrow N\left( {\frac{7}{5};\frac{1}{5}} \right)\).

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với \(A\left( {\frac{4}{5};\frac{7}{5}} \right)\) qua \(N\left( {\frac{7}{5};\frac{1}{5}} \right)\) là A''(2;-1) thì \(A'' \in BC\). (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {A'A''} = \left( {2;0} \right)\) là một VTCP của BC suy ra VTPT của BC là \(\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)\).

Do đó phương trình cạnh \(BC:0\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0\).