Cho phương trình \((m-5) x^{2}+2(m-1) x+m=0(1)\) . Với giá trị nào của m thì (1) có 2 nghiệm\(x_{1};x_{2} \) thỏa \(x_{1}...

* Hướng dẫn giải

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m-5 \neq 0 \\ (m-1)^{2}-m(m-5)>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 5 \\ m>-\frac{1}{3} \end{array}\left(^{*}\right)\right.\right.\) .

Khi đó theo định lý Viète, ta có:  \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-\dfrac{2(m-1)}{m-5} \\ x_{1} x_{2}=\dfrac{m}{m-5} \end{array}\right.\).

Với  \(x_{1}<2<x_{2} \Rightarrow\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)<0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4<0 \Leftrightarrow \frac{m}{m-5}+\frac{4(m-1)}{m-5}+4<0\)

\(\Leftrightarrow \frac{9 m-24}{m-5}<0 \Leftrightarrow \frac{8}{3}<m<5\). 

Kiểm tra điều kiện (*) ta được \(\frac{8}{3}<m<5\)