Xác định m để phương trình \(m x^{3}-x^{2}+2 x-8 m=0\) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1

* Hướng dẫn giải

Ta có:  \(m x^{3}-x^{2}+2 x-8 m=0 \Leftrightarrow(x-2)\left(m x^{2}+(2 m-1) x+4 m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2 \\ f(x)=m x^{2}+(2 m-1) x+4 m=0\,\,\,(*) \end{array}\right.\)

Để phương trình ban đầu có ba nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì phương trình (*) có hai nghiệm  phân biệt lớn hơn 1 và khác  2 .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 2 khi

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 0 \\ \Delta>0 \\ f(2) \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 0 \\ -12 m^{2}-4 m+1>0 \\ 4 m+2(2 m-1)+4 m \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 0 \\ -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{6} \\ m \neq \frac{1}{6} \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} m \neq 0 \\ -\frac{1}{2}<m<\frac{1}{6} \end{array}\right.\right.\right.\right.(1)\)Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệ\(x_{1}, x_{2},\) khác  2 .

Theo định lí Vi ét ta có:  \(\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{1-2 m}{2} \\ x_{1}+x_{2}=4 \end{array}\right.\). Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(1<x_{1}<x_{2} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \left(x_{1}-1\right)+\left(x_{2}-1\right)>0 \\ \left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)>0 \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-2>0 \\ x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+1>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{1-2 m}{m}-2>0 \\ 4-\frac{1-2 m}{m}+1>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \frac{1-2 m}{m}-2>0 \\ 4-\frac{1-2 m}{m}+1>0 \end{array}\right.\right.\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{1 - 4m}}{m} > 0}\\ {\frac{{7m - 1}}{m} > 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < m < \frac{1}{4}}\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > \frac{1}{7}}\\ {m < 0} \end{array}} \right.{\rm{ }}} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{7} < m < \frac{1}{4}(2)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{1}{7} < m < \frac{1}{6}\)