Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \((m-2) x^{2}+2(2 m-3) x+5 m-6=0\) vô nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình \((m-2) x^{2}+2(2 m-3) x+5 m-6=0\,\,\,\,(*)\) .

TH1. Với \(m-2=0 \Leftrightarrow m=2, \text { khi đó }(*) \Leftrightarrow 2 x+4=0 \Leftrightarrow x=-2\)

Suy ra với  m = 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất  x =-2. Do đó  m = 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2. Với \(m-2 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 2\), khi đó để phương trình (*) vô nghiệm 

\(\Leftrightarrow \Delta_{x}^{\prime}<0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow(2 m-3)^{2}-(m-2)(5 m-6)<0 \Leftrightarrow 4 m^{2}-12 m+9-\left(5 m^{2}-16 m+12\right)<0 \\ \Leftrightarrow-m^{2}+4 m-3<0 \Leftrightarrow m^{2}-4 m+3>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m>3 \\ m<1 \end{array}\right. \end{array}\)

Do đó, với  \(\left[\begin{array}{l} m>3 \\ m<1 \end{array}\right.\) thì phương trình (*) vô nghiệm.

Kết hợp hai TH, ta được  \(\left[\begin{array}{l} m>3 \\ m<1 \end{array}\right.\) là giá trị cần tìm