Tập xác định của hàm số: \(y=\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}+\sqrt{5-x^{2}-2 \sqrt{4-x^{2}}}\) có dạng\([a ; b]\). Tìm a+b

* Hướng dẫn giải

Điều kiện:

\(\left\{\begin{array}{l} x-1 \geq 0\,\,(1) \\ x+2 \sqrt{x-1} \geq 0 \,\,(2)\\ 4-x^{2} \geq 0\,\,(3) \\ 5-x^{2}-2 \sqrt{4-x^{2}} \geq 0\,\,(4) \end{array}\right.\)

\(\begin{aligned} &(1) \Leftrightarrow x \geq 1\,\,(5)\\ &\text { Với } x \geq 1 \text { thì (2) luôn đúng. }\\ &(3) \Leftrightarrow-2 \leq x \leq 2\,\,(6)\\ &\text { Xét }(4) \Leftrightarrow 1+\left(4-x^{2}\right)-2 \sqrt{4-x^{2}} \geq 0, \text { với điều kiện }-2 \leq x \leq 2 . \end{aligned}\)

Đặt \(\sqrt{4-x^{2}}=t \geq 0, \text { ta được } 1+t^{2}-2 t \geq 0 \Leftrightarrow(t-1)^{2} \geq 0\)(luôn đúng)

Kết hợp (5) và (6) ta được tập xác định của hàm số là [1; 2]. Suy ra  a = 1; b = 2 .

Vậy  a+b=3