Biết phương trình \(x - 2 + \frac{{x + a}}{{x - 1}} = a\) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên.

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \ne 1\)

Ta có \(x - 2 + \frac{{x + a}}{{x - 1}} = a{\rm{ (1)}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + x + a =  - a \Leftrightarrow {x^2} - 2 + a + 2a + 2 = 0{\rm{ (2)}}\)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \) phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 4a - 4 = 0\\
a + 1 = 0
\end{array} \right. \cup \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 4a - 4 > 0\\
a + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 2 + 2\sqrt 2 \\
a = 2 - 2\sqrt 2 \\
a =  - 1
\end{array} \right.\)

Với \(a = 2 + 2\sqrt 2 \) phương trình có nghiệm là \(x = 2 + \sqrt 2 \)

Với \(a = 2 - 2\sqrt 2 \) phương trình có nghiệm là \(x = 2 - \sqrt 2 \)

Với \(a =  - 1\) phương trình có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}
x = 0{\rm{ (n)}}\\
x = 1{\rm{ (l)}}
\end{array} \right.\)