Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với mặt đáy và đáy ABCD

Cách 1:
Ta có $d\left(C,\left(SBD\right)\right)=d\left(A,\left(SBD\right)\right)=h$.
Tứ diện $ASBD$ có các cạnh $AB,AD,AS$ đôi một vuông góc với nhau và $AB=4a,AD=3a,AS=3a$ nên ta có
$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{A{S}^2}=\frac{1}{16a^2}+\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{9a^2}=\frac{41}{144a^2}\Rightarrow h=\frac{12a\sqrt{41}}{41}$
Vậy $d\left(C,\left(SBD\right)\right)=\frac{12a\sqrt{41}}{41}$.
Cách 2:
Đặt hình chóp $S.ABCD$ vào một hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $A\equiv O$, AB nằm trên tia Ox, AD nằm trên tia Oy, AS nằm trên tia Oz. Các đỉnh của hình chóp có tọa độ là:
$A\left(0;0;0\right), B\left(4a;0;0\right), C\left(4a;3a;0\right), D\left(0;3a;0\right), S\left(0;0;3a\right)$
Sử dụng phương trình mặt phẳng đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng $\left(SBD\right)$ là:
$\frac{x}{4a}+\frac{y}{3a}+\frac{z}{3a}=1\iff 3x+4y+4z-12a=0$
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) ta có:
$d\left(C;\left(SBD\right)\right)=\frac{\left|12a+12a-12a\right|}{\sqrt{4^2+3^2+4^2}}=\frac{12a}{\sqrt{41}}=\frac{12\sqrt{41}a}{41}$.