Cho f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R . Nếu tích phân -1 đến 1 fx/1+e^x thì

Do f(x) là hàm số chẵn nên $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ và $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Xét $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}=1010$. Đặt $x=-t\Rightarrow d\text{x}=-dt$.

Đổi cận: $x=-1\Rightarrow t=1$.

 $x=1\Rightarrow t=-1$.

$\Rightarrow I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}=\underset{1}{\overset{-1}{\int }}\frac{f\left(-t\right)}{1+e^{-t}}\left(-dt\right)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^t.f\left(-t\right)}{1+e^t}dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^t.f\left(t\right)}{1+e^t}dt=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x.f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}$

$\Rightarrow \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x.f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}=1010$.

Khi đó: $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{e^x.f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\left(e^x+1\right).f\left(x\right)}{1+e^x}d\text{x}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=1010+1010=2020$

$\Rightarrow 2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=2020\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}=1010$.