Tìm giá trị nhỏ nhất của P=x^3*z/(y^2*(xz+y^2)) + y^4/(z^2*(xz+y^2)) + (z^3+15z^3)/x^2*z biết 0

Ta có: $P=\frac{x^{3}z}{y^2(xz+y^2)}+\frac{y^4}{z^2(xz+y^2)}+\frac{z^3+15x^3}{x^{2}z}=\frac{{\left(\frac{x}{y}\right)}^3}{(\frac{x}{y}+\frac{y}{z})}+\frac{{\left(\frac{y}{z}\right)}^3}{(\frac{x}{y}+\frac{y}{z})}+{\left(\frac{z}{x}\right)}^2+\frac{15}{\frac{z}{x}}$

Đặt $a=\frac{x}{y}<\mathrm{1,}b=\frac{y}{z}<\mathrm{1,}c=\frac{z}{x}>1$ và $abc=1\iff ab=\frac{1}{c}.$

Ta được: $P=\frac{a^3}{(a+b)}+\frac{b^3}{(a+b)}+c^2+\frac{15}{c}=a^2+b^2-ab+c^2+\frac{15}{c}\ge ab+c^2+\frac{15}{c}$

                $=c^2+\frac{16}{c}=c^2+\frac{8}{c}+\frac{8}{c}\ge 3\sqrt[3]{c^2.\frac{8}{c}.\frac{8}{c}}=12.$

Vậy $P_{\min }=12$ khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}a=b\\ abc=1\\ c^2=\frac{8}{c}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ c=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{\sqrt{2}}y\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}z\\ z=2x\end{array}.$

Đáp án A