Số phức z thỏa mãn z-2i/z-2 là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đặt z = a + bi với $a,b\in R$

Khi đó

$$\begin{gathered} \frac{z-2i}{z-2}=\frac{a+\left(b-2\right)i}{\left(a-2\right)+bi} \\ =\frac{\left[a+\left(b-2\right)i\right]\left[\left(a-2\right)-bi\right]}{{\left(a-2\right)}^2+b^2} \\ =\frac{a\left(a-2\right)+b\left(b-2\right)}{{\left(a-2\right)}^2+b^2}+\frac{\left(a-2\right)\left(b-2\right)-ab}{{\left(a-2\right)}^2+b^2} \end{gathered}$$

$\frac{z-2i}{z-2}$ là số ảo khi và chỉ khi 

$$\begin{gathered} \frac{a\left(a-2\right)+b\left(b-2\right)}{{\left(a-2\right)}^2+b^2}=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=2\left(a+b\right)\\ {\left(a-2\right)}^2+b^2\ne 0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ta có

$$\begin{gathered} P=\left|z-1\right|+\left|z-i\right| \\ =\left|\left(a-1\right)+bi\right|+\left|a+\left(b-1\right)i\right| \\ =\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+b}+\sqrt{a^2+{\left(b-1\right)}^2} \\ =\sqrt{a^2+b^2-2a+1}+\sqrt{a^2+b^2-2b+1} \\ =\sqrt{2\left(a+b\right)-2a+1}+\sqrt{1\left(a+b\right)-2a+1} \\ =\sqrt{1+2b}+\sqrt{1+2} \end{gathered}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $2\left(a+b\right)=a^2+b^2\ge \frac{1}{2}{\left(a+b\right)}^2$

Suy ra $a+b\le 4$

Do đó $P^2\le 2\left(2+2\left(a+b\right)\right)\le 20\iff P\le 2\sqrt{5}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2

Vậy maxP = $2\sqrt{5}$ đạt được khi z = 2 + 2i

Đáp án C